Ajax- vue.js 的class的切換

因為工作上的需求, 最近開始自學 vue.js, 但遇上個問題一直解決不了, 所以想請問各位先進。

程式說明：
以下的的小程式有搭配bootstrap, 按下新增鈕之後會新增資料, 每一筆新增的資料會連帶產生一個年代的的model, 在生日的年的input上click之後, 會跳出生日的年代的model, 在特定的年代上click之後, 圓圈會切換成被打勾的圖案 ( 透過切換fa_circle和fa_check_circle這兩個class的方式來產生效果 )。

問題說明：
按下圓圈之後沒有切換成打勾的圖案, 我有用console.log把birthday_year這個陣列的值印出來, 按下的年代的值是有改變的( true 和 false的切換 ), 請問為什麼值有切換但效果卻沒出來呢?
程式：